コラム
GPSが1.5秒刻みで時刻をカウントする理由

江戸時代の日本では、日の出と日の入りを境に１日を昼夜に分かち、昼と夜をそれぞれ６等分して「一刻」を定めていました。これは不定時法と呼ばれ、夏と冬では一刻の長さが最大50分も違っていました。時計が広く行き渡ってはおらず、暮らしのサイクルに刻時を合わせる、当時ならではの作法だったかもしれません。さて今回は、GPSに存在する、独自の時間のカウントの作法を話題にしたいと思います。

週番号ロールオーバーという「ほころび」の理由は

GNSS衛星が送信する航法メッセージには測位演算に必要な情報がすべて含まれています。中でも時刻情報はとりわけ重要度の高い情報です。
先のコラムで、最初のGNSSであるGPSを例に、航法メッセージの構造についてご紹介しました。限られたbit数に必要な情報をみっちりと詰め込まれながらも基本的には問題なく機能していますが、20年に一度ぐらい「ほころび」が顔を出すこともあります。みなさんも耳にしたことがあるかもしれません「週番号ロールオーバー（Week Number Rollover）」というのがそれです。
GPSでは時刻を週と秒のみで表現しており、週数には10bitが割り当てられています。10bitしかないので0～1023までしか表現できず、起点である1986年1月6日から1024週後の1999年8月22日に、ゼロにもどってしまいトラブルを引き起こしました。さらに2048週後の2019年4月7日ではすでに経験済みの事象のため、受信機側にロールオーバーを前提としたさまざまな工夫が施され、古い受信機を除けば大きな問題は生じなかったようです。航法メッセージを送信する衛星システム側でも、新規の測位信号では週数の割当てビット数を増やし、当面はロールオーバーが起こらないよう配慮しています。限られたビット数の中に必要な情報を詰めに詰めたGPSだからこその出来事と言えるでしょう。

素朴な疑問、GPSの「1.5秒問題」

さて「週数が10bit」だけが、GPSの特徴というわけではありません。初学者として以前引っかかったことが他にもありました。それが「1.5秒問題」です。「信号機はなぜ、青・黄・赤の順なの？」というような素朴な疑問かもしれませんが、先のコラムの調べを進めるうち自力で答えらしきところにたどり着けたような気がします。かなりマニアックな話だとは思いますが、考えの道筋を示してみましょう。

1）GPSは週番号と秒数のみで時刻を表します。これはZ-countと呼ばれる29bitの数値で、上位10bitが週番号を意味するWN（Week Number）、下位19bitは週のはじまりからの秒数を表わすTOW（Time-Of-Week)です。

2）そしてなぜか「TOWは1.5秒を単位（unit）としてカウントする」、と記されています。これが疑問でした。

3）1週間は、7日ｘ24時間ｘ60分ｘ60秒＝604,800秒です。もれなく表現するには2進数では20bit（2^20=1,048,576）が必要です。

4）1.5秒刻みでカウントするTOWだと、最大値は403,200（＝604,800÷1.5）になり、たしかに19bitに収まります（403,200 < 524,288=2^19）。秒をそのまま表現するより１ビットだけ節約できました。

5）ところがGPSの航法メッセージでは、TOWへの割り当ては17bitしかありません。仕様書に"TOW 17bit (TRANCATED)"と書いてあるのです。そもそも403,200まで数えるには19bitを必要とするはずなのに、2bitも切り捨て（trancate）ちゃっていいんでしょうか？

6の倍数と4の倍数で◯◯になる

6）時刻は測位衛星における最重要情報ですので、切り捨てても問題ないような工夫がされている、と考えたほうがいいようです。それはどんな工夫なのでしょうか？

7）先のコラムでもご紹介しましたが、航法メッセージのビットレートは50bps （bit per second）と、むかしの「テレックス」と同等のゆっくりしたデータ通信速度です。そして航法メッセージにおけるサブフレームというひとかたまりの先頭の時刻（送信時刻）が、その直前のサブフレームに書き込まれています。そしてサブフレームのサイズは300bitです。

8）ビットレートが50bpsということは、300bitのサブフレームの先頭は６秒ごとにやってきます。これを言い換えると、「GPSの航法メッセージが扱う秒数は、すべて6の倍数である」ということになります。

9）時刻を1.5秒刻みで数えるTOWは、秒で表現される時刻を1.5で割った値となります。6の倍数を1.5で割る（3で割って2倍する）と４の倍数になるため、TOWはつねに4の倍数となります。

10）10進数の「４」を２進数で表現すると「100」となります。2進数表現での4の倍数の末尾2桁はいつも「00」です。したがってつねに4の倍数であるTOWの下位２bitもかならず「00」となります。

11）なので本来19bit必要なTOWの下位２bitを切り捨て、全体を17bitに切り詰めても、伝えるべき情報が欠けることがないわけです！